Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Tensorprodukt/Definition

Tensorprodukt von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und

$\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times {\left(\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}\right)}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}:={\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\otimes {\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\,$

(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$. Es wird mit ${}E\otimes F$ bezeichnet.