Reelle Zahlen/Abzählbares Nichtstandardmodell/Nicht archimedisch/Beispiel

Die Symbolalphabet ${}S$ bestehe aus den Zeichen ${}0,1,+,\cdot$ (und abzählbar unendlich vielen Variablen), die in den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ in natürlicher Weise interpretiert werden. Die Ausdrucksmenge

${}\Gamma =\mathbb {R} ^{\vDash }\,$

ist somit widerspruchsfrei. Wir betrachten für ${}n\in \mathbb {N}$ den Ausdruck

${}\beta _{n}=x\geq n\,.$

Es sei ${}\Gamma '$ die Vereinigung von ${}\Gamma$ mit ${}{\left\{\beta _{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$. Jede endliche Teilmenge von ${}\Gamma '$ ist erfüllbar (nämlich in ${}\mathbb {R}$), also ist nach Fakt auch ${}\Gamma '$ erfüllbar. Es gibt also eine ${}S$-Struktur ${}M$, in der alle erststufigen Sätze von ${}\mathbb {R}$ gelten und auch alle ${}x\geq n$ bei geeigneter Belegung gelten, d.h. es gibt ein Element ${}m\in M$, das jenseits jeder natürlichen Zahl liegt. Insbesondere ist ${}M$ ein nicht-archimedisch angeordneter Körper.