Reelle Zahlen/Beschränkte, nicht konvergente Folge/pm 1/Beispiel

Die alternierende Folge

${}x_{n}:=(-1)^{n}\,$

ist beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus ${}x_{n}\in [-1,1]$ für alle ${}n$. Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich ${}x\geq 0$ der Grenzwert, so gilt für positives ${}\epsilon <1$ und jedes ungerade ${}n$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {-1-x}\vert =1+x\geq 1>\epsilon \,,$

sodass es Folgenwerte außerhalb dieser ${}\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.