Reelle Zahlen/Beschränkte, nicht konvergente Folge/pm 1/Beispiel

Die alternierende Folge

ist beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus für alle . Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich der Grenzwert, so gilt für positives und jedes ungerade die Beziehung

so dass es Folgenwerte außerhalb dieser -Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.