Es sei
eine obere Schranke, also
für alle Folgenglieder . Wir nehmen an, dass keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für jedes Indizes
mit
gibt
(wir können die Betragstriche weglassen).
Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem ein
mit
.
Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch
-
-
etc. Andererseits gibt es aufgrund des
Archimedesaxioms
ein
mit
-
Die Summe der ersten Differenzen der
Teilfolge
, ,
ergibt
Dies impliziert
im Widerspruch zur Voraussetzung, dass eine obere Schranke der Folge ist.