Reelle Zahlen/Disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen/Mengen-Präring/Fakt/Beweis

Beweis

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ lässt sich genau dann als eine endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen schreiben, wenn dies mit endlich vielen disjunkten halboffenen Teilmengen möglich ist, siehe Aufgabe. Die leere Menge ist das halboffene Interall ${}[a,a[$ (bzw. die leere Vereinigung). Die Abgeschlossenheit unter Vereinigungen ist klar. Sei ${}V=I_{1}\cup \ldots \cup I_{m}$ und ${}W=J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}$. Dann ist

${}{\begin{aligned}V\setminus W&=(I_{1}\cup \ldots \cup I_{m})\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n})\\&=(I_{1}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}))\cup \ldots \cup (I_{m}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}))\\&=((I_{1}\setminus J_{1})\setminus (J_{2}\cup \ldots \cup J_{n}))\cup \ldots \cup ((I_{m}\setminus J_{1})\setminus (J_{2}\cup \ldots \cup J_{n})).\end{aligned}}$

Da ${}I_{1}\setminus J_{1}$ eine Vereinigung von maximal zwei halboffenen Intervallen ist, folgt die Behauptung durch Induktion über ${}n$.

Zur bewiesenen Aussage