Reelle Zahlen/Exponentialfunktion/Nicht-algebraische Gruppenoperation/Beispiel

Die Exponentialfunktion ist bekanntlich ein Gruppenisomorphismus

$(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\subset \mathbb {R} ^{\times },\,t\longmapsto e^{t},$

mit dem natürlichen Logarithmus als Umkehrfunktion. Daher kann man jede Gruppenoperation der additiven Gruppe ${}\mathbb {R}$ auf einer beliebigen Menge auch als eine Operation der positiven multiplikativen Gruppe ${}\mathbb {R} _{+}$ ansehen und umgekehrt. Sämtliche operationstheoretischen Konzepte wie Bahn, Isotropiegruppe, Invariantenring stimmen dabei überein. Beispielsweise kann man die skalare Multiplikation von ${}\mathbb {R} ^{\times }$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ als die Operation

$(\mathbb {R} ,0,+)\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (e^{t}x_{1},\ldots ,e^{t}x_{n}),$

auffassen. Diese Operation kann man nur unter Verwendung einer transzendenten Funktion hinschreiben. Wenn man nur „algebraische Operationen“ zulassen möchte, so sind die multiplikative und die additive Gruppe nicht isomorph, und sie besitzen sehr unterschiedliche Operationen.