Es sei
beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine
Cauchy-Folge
ist. Zu gegebenem
sei
derart, dass
-
![{\displaystyle {}b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf889551fab0ccd93f687ec852f09be101a8511f)
Für
ist dann
-
![{\displaystyle {}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97338b36e1387814e5cd9e801505d3b9416d0913)
da ja
ist. Es sei
der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre
für ein
, so wäre
-
![{\displaystyle {}x<a_{m}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e86fc93b06c5662ad9ae0eed7a65c148c09af6)
(oder
),
doch wegen der Konvergenz der Folge gegen
würden dann auch die Folgenglieder für
hinreichend groß echt unterhalb von
und damit von
liegen, im Widerspruch zu
.
Also ist
.
Würden zwei Zahlen
zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
-
![{\displaystyle {}y-x\leq b_{n}-a_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ce22b7e68ac35dece6322db816dc1a0399edd3)
für alle
im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen
konvergieren.