Reelle Zahlen/Konvergente Folge ist Cauchyfolge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge mit Grenzwert ${}x$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf ${}\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Für beliebige ${}n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$

  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

Zur bewiesenen Aussage