Reelle Zahlen/Konvergente Standardfolgen/Beispiel

Eine konstante Folge ${}x_{n}:=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert ${}c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes ${}\epsilon >0$ als Aufwandszahl ${}n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja

${}\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$

für alle ${}n$.

Die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

ist konvergent mit dem Grenzwert ${}0$. Es sei dazu ein beliebiges positives ${}\epsilon$ vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms gibt es ein ${}n_{0}$ mit ${}{\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon$. Insgesamt gilt damit für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$