Reelle Zahlen/Maximum/Differenz/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage mit einer Fallunterscheidung. Es sei zuerst

{}\vert {b}\vert \geq \vert {a}\vert \,.

Dann ist

{}{\begin{aligned}\operatorname {max} \left(\vert {a-b}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)&\geq \vert {b}\vert \\&\geq {\frac {1}{2}}\vert {b}\vert \\&\geq {\frac {1}{2}}\operatorname {max} \left(\vert {a}\vert ,\,\vert {b}\vert \right).\end{aligned}}

Es sei nun

{}\vert {a}\vert \geq \vert {b}\vert \geq {\frac {1}{2}}\vert {a}\vert \,.

Dann ist

{}{\begin{aligned}\operatorname {max} \left(\vert {a-b}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)&\geq \vert {b}\vert \\&\geq {\frac {1}{2}}\vert {a}\vert \\&\geq {\frac {1}{2}}\operatorname {max} \left(\vert {a}\vert ,\,\vert {b}\vert \right).\end{aligned}}

Es sei schließlich

{}\vert {b}\vert \leq {\frac {1}{2}}\vert {a}\vert \,.

Dann ist

{}\operatorname {max} \left(\vert {a-b}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)\geq \vert {a-b}\vert \geq {\frac {1}{2}}\vert {a}\vert \geq {\frac {1}{2}}\operatorname {max} \left(\vert {a}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)\,.