Reelle Zahlen/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition

Beschränktheits-Eigenschaften

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen.

1. Ein Element ${}S\in \mathbb {R}$ heißt eine obere Schranke für ${}M$, wenn ${}x\leq S$ für alle ${}x\in M$ gilt.
2. Ein Element ${}s\in \mathbb {R}$ heißt eine untere Schranke für ${}M$, wenn ${}x\geq s$ für alle ${}x\in M$ gilt.
3. ${}M$ heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für ${}M$ existiert.
4. ${}M$ heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für ${}M$ existiert.
5. ${}M$ heißt beschränkt, wenn ${}M$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
6. Ein Element ${}T\in M$ heißt das Maximum von ${}M$, wenn ${}T\geq x$ für alle ${}x\in M$ gilt.
7. Ein Element ${}t\in M$ heißt das Minimum von ${}M$, wenn ${}t\leq x$ für alle ${}x\in M$ gilt.
8. Eine obere Schranke ${}T$ von ${}M$ heißt das Supremum von ${}M$, wenn ${}T\leq S$ für alle oberen Schranken ${}S$ von ${}M$ gilt.
9. Eine untere Schranke ${}t$ von ${}M$ heißt das Infimum von ${}M$, wenn ${}t\geq s$ für alle unteren Schranken ${}s$ von ${}M$ gilt.