Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Archimedisch angeordneter Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Die in Fakt beschriebenen Alternativen hängen nach Aufgabe nur von der Äquivalenzklasse ab. Daher ergibt sich durch das Lemma eine Zerlegung (des Cauchy-Folgen-Modells) der reellen Zahlen in die ${}0$, in positive und in negative Zahlen. Dabei sind die positiven Zahlen unter Addition und unter Multiplikation abgeschlossen, d.h. es liegt wegen Aufgabe ein angeordneter Körper vor. Es sei ein ${}x\in \mathbb {R}$ gegeben, das durch eine rationale Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ repräsentiert werde. Nach Fakt ist die Folge beschränkt und es gibt insbesondere eine natürliche Zahl ${}b$ mit

${}x_{n}\leq b\,$

für alle ${}n$. Damit gilt auch für die Restklassen

${}x=[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\leq [b]=b\,,$

was bedeutet, dass ${}\mathbb {R}$ archimedisch angeordnet ist.

Zur bewiesenen Aussage