Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Dass ein kommutativer Ring vorliegt, wurde schon in Fakt vermerkt. Wir müssen also noch zeigen, dass ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}x\in \mathbb {R}$ ein inverses Element besitzt. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in C$ eine Cauchy-Folge, die dieses ${}x$ repräsentiert. Diese Folge ist keine Nullfolge, da ja alle Nullfolgen unter der Restklassenabbildung auf das Nullelement abgebildet werden. Nach Fakt gilt somit eine der dort angegebenen Alternativen, d.h. es gibt ein ${}\delta \in K_{+}$ und ein ${}n_{0}$ mit der Eigenschaft, dass für ${}n\geq n_{0}$ alle Folgenglieder entweder oberhalb von ${}\delta$ oder aber unterhalb von ${}-\delta$ liegen. Betrachten wir den ersten Fall, wobei wir durch Abändern der ersten ${}n_{0}$ Folgenglieder, was die Äquivalenzklasse nicht ändert, annehmen können, dass alle Folgenglieder oberhalb von ${}\delta$ liegen. Nach Fakt ist dann die durch

${}y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

gegebene inverse Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge. Wegen

${}y_{n}x_{n}=1\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist auch

${}[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]=[1]=1\,,$

und somit ist eine inverse Klasse gefunden.

Zur bewiesenen Aussage