Es sei eine
Cauchy-Folge
in . D.h. jedes einzelne Folgenglied ist selbst durch eine rationale Cauchy-Folge repräsentiert. Für diese repräsentierende Folge schreiben wir , wobei der zweite Index der Folgenindex ist und der erste Index sich auf die zugehörige Restklasse bezieht. Wir können durch Übergang zu einer Teilfolge der .ten Folge annehmen, dass für jeden Stammbruch bereits
für alle
die Abschätzung
-
gilt. Es sei die zugehörige Diagonalfolge, ihre Folgenglieder sind also die rationalen Zahlen
-
Wir behaupten, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist und dass die vorgegebene Folge in gegen
konvergiert. Es sei also
mit
vorgegeben.
Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft der Folge gibt es ein
(das wir als mindestens annehmen können)
derart, dass für alle
die Abschätzung
-
gilt. Aufgrund von
Fakt
konvergiert die geeignet gewählte repräsentierende Folge gegen , und zwar mit der Eigenschaft, dass
-
für
und somit auch
-
für hinreichend groß gilt. Somit ist insgesamt für
Durch den Vergleich
-
sieht man, dass eine Cauchy-Folge ist. Die zugehörige Klasse
ist nach
Fakt
der Grenzwert davon. Die obige Abschätzung gilt dann auch für .