Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Cauchy-Folge in . D.h. jedes einzelne Folgenglied ist selbst durch eine rationale Cauchy-Folge repräsentiert. Für diese repräsentierende Folge schreiben wir , wobei der zweite Index der Folgenindex ist und der erste Index sich auf die zugehörige Restklasse bezieht. Wir können durch Übergang zu einer Teilfolge der .ten Folge annehmen, dass für jeden Stammbruch bereits für alle die Abschätzung

gilt. Es sei die zugehörige Diagonalfolge, ihre Folgenglieder sind also die rationalen Zahlen

Wir behaupten, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist und dass die vorgegebene Folge in gegen konvergiert. Sei also mit vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft der Folge gibt es ein (das wir als mindestens annehmen können) derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Aufgrund von Fakt konvergiert die geeignet gewählte repräsentierende Folge gegen , und zwar mit der Eigenschaft, dass

für und somit auch

für hinreichend groß gilt. Somit ist insgesamt für

Durch den Vergleich

sieht man, dass eine Cauchy-Folge ist. Die zugehörige Klasse ist nach Fakt der Grenzwert davon. Die obige Abschätzung gilt dann auch für .