Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}b\in \mathbb {R}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

2. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}x\in T$ mit ${}d(x,a)\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(f(x),b)\leq \epsilon$ gilt.

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