Reeller Kreisteilungskörper/15/Einzelne Primzahlen/Verzweigung/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung des Polynoms

${}F=Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\,$

ist

${}F'=4Y^{3}-3Y^{2}-8Y+4\,.$

Verzweigung liegt über einer Primzahl ${}p$ nach Fakt genau dann vor, wenn in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ die beiden Polynome ${}F$ und ${}F'$ nicht teilerfremd sind.

${}p=2\,.$

Modulo ${}2$ wird ${}F$ zu ${}Y^{4}+Y^{3}+1$ und die Ableitung zu ${}Y^{2}$, diese sind teilerfremd.

${}p=3\,.$

Modulo ${}3$ wird ${}F$ zu ${}Y^{4}+2Y^{3}+2Y^{2}+Y+1$ und die Ableitung zu ${}Y^{3}+Y+1$. Die Ableitung hat in ${}\mathbb {Z} /(3)$ die Nullstelle ${}1$ und dabei gilt

${}Y^{3}+Y+1=(Y-1)(Y^{2}+Y-1)=(Y+2)(Y^{2}+Y+2)\,.$

Wegen

${}(Y^{2}+Y+2)^{2}=Y^{4}+Y^{2}+1+2Y^{3}+Y^{2}+Y=Y^{4}+2Y^{3}+2Y^{2}+Y+1=F\,$

ist ${}Y^{2}+Y+2$ auch ein Teiler von ${}F$, also sind in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$ die beiden Polynome nicht teilerfremd und es liegt Verzweigung vor.

${}p=5\,.$

Modulo ${}5$ wird ${}F$ zu ${}Y^{4}+4Y^{3}+Y^{2}+4Y+1$ und die Ableitung wird zu ${}4Y^{3}+2Y^{2}+2Y+4$. Die Ableitung hat in ${}\mathbb {Z} /(5)$ die Nullstelle ${}-1$ und dabei gilt

${}4Y^{3}+2Y^{2}+2Y+4=(Y+1)(4Y^{2}+3Y+4)\,.$

Wegen

${}(4Y^{2}+3Y+4)^{2}=Y^{4}+4Y^{2}+1+4Y^{3}+2Y^{2}+4Y=Y^{4}+4Y^{3}+Y^{2}+4Y+1=F\,$

ist ${}4Y^{2}+3Y+4$ auch ein Teiler von ${}F$, also sind in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die beiden Polynome nicht teilerfremd und es liegt Verzweigung vor.

Zur gelösten Aufgabe