Reellwertige Funktion auf R^3/Einschränkung auf Ebene/Gradient/Koordinantenfrei/Bemerkung
Zu einer differenzierbaren Funktion lässt sich der Gradient (bezüglich des Standardskalarproduktes) einfach durch partielles Differenzieren berechnen. Es wäre aber eine künstliche Einschränkung, nur diese Situation zu betrachten. Um dies zu illustrieren sei beispielsweise
eine differenzierbare Funktion und eine Ebene, die etwa als Lösungsmenge der linearen Gleichung gegeben sei. Dann induziert das Standardskalarprodukt des durch Einschränkung ein Skalarprodukt auf . Diese Ebene ist zwar isomorph zu , es ergibt aber keinen Sinn, das eingeschränkte Skalarprodukt als Standardskalarprodukt anzusprechen. Der Gradient zu in einem Punkt lässt sich direkt mit den partiellen Ableitungen zu den drei Raumkoordinaten berechnen. Bei wird im Allgemeinen der Gradient nicht auf liegen. Die eingeschränkte Funktion
ist aber ebenfalls differenzierbar und besitzt daher einen Gradienten , der auf liegt, und dieser lässt sich nicht über partielle Ableitungen berechnen, da es auf keine Standardbasis gibt. Übrigens ist die orthogonale Projektion von auf .