Rees-Algebra/Artin-Rees/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Lemma von Artin-Rees.

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}N\subseteq M$ ein Untermodul in einem endlich erzeugten ${}R$-Modul ${}M$.

Dann gibt es eine natürliche Zahl ${}m$ mit

${}{\mathfrak {a}}^{n}M\cap N={\mathfrak {a}}^{n-m}({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N)\,$

für ${}n\geq m$.

Beweis

Wir betrachten im Rees-Modul zu ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}M$, also in

$\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M,$

den graduierten ${}\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$-Untermodul

${}\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\left({\mathfrak {a}}^{n}M\cap N\right)}\subseteq \bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M\,.$

Da der Rees-Modul zu einem endlich erzeugten Modul endlich erzeugt über der Rees-Algebra ist, gibt es homogene Elemente, die diesen Untermodul erzeugen, sagen wir

$v_{1},\ldots ,v_{s}$

mit ${}v_{j}\in {\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N$. Wir setzen

${}m:={\max {\left(m_{j},j=1,\ldots ,s\right)}}\,$

und behaupten, dass die Aussage des Satzes mit diesem ${}m$ gilt. Es ist also für

${}n\geq m\,$

die Gleichheit

${}{\mathfrak {a}}^{n}M\cap N={\mathfrak {a}}^{n-m}({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N)\,$

zu zeigen, wobei die Inklusion ${}\supseteq$ trivial. Es sei also ${}v\in {\mathfrak {a}}^{n}M\cap N$. Dann ist

${}v=\sum _{j=1}^{s}a_{j}v_{j}\,$

mit ${}a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{n-m_{j}}$. Für die Summanden gilt dabei

${}a_{j}v_{j}\in {\mathfrak {a}}^{n-m_{j}}\cdot {\left({\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N\right)}={\mathfrak {a}}^{n-m}\cdot {\mathfrak {a}}^{m-m_{j}}{\left({\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N\right)}\subseteq {\mathfrak {a}}^{n-m}{\left({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N\right)}\,$

und daher gilt diese Zugehörigkeit auch für die Summe.

$\Box$