Die
Jacobi-Matrix
von ist
-
Bei sind alle partiellen Ableitungen gleich , dort liegt also ein nichtregulärer Punkt der Faser vor.
Wir müssen zeigen, dass es keinen weiteren nichtregulären Punkt auf der Faser gibt. Wenn alle Einträge der Jacobi-Matrix gleich sind, so ist aufgrund der ersten partiellen Ableitung
-
und damit ist aufgrund der zweiten partiellen Ableitung
-
Bei ist und wegen
auch . Es sei also und somit
-
und
-
Die dritte partielle Ableitung liefert
-
Bei sind wieder alle drei Komponenten . Daher ist
-
Der Wert der Funktion an diesem Punkt ist
Daher ist dies kein Punkt der Faser.