Reihe/2n+5 durch 4n^3-3n+2/Aufgabe/Lösung

Für ${}n\geq 5$ ist

${}2n+5\leq 3n\,$

und für ${}n\geq 1$ ist

${}4n^{3}-3n+2=n^{3}+3n^{3}-3n+2\geq n^{3}+3n(n^{2}-1)\geq n^{3}\,.$

Daher gilt für die Reihenglieder für ${}n\geq 5$ die Abschätzung

${}{\frac {2n+5}{4n^{3}-3n+2}}\leq {\frac {3n}{4n^{3}-3n+2}}\leq {\frac {3n}{n^{3}}}=3{\frac {1}{n^{2}}}\,.$

Die Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ konvergiert nach Beispiel und dies gilt auch für ${}\sum _{n=1}^{\infty }3{\frac {1}{n^{2}}}$. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch

$\sum _{n=5}^{\infty }{\frac {2n+5}{4n^{3}-3n+2}}$

und daher konvergiert auch die in Frage stehende Reihe.

Zur gelösten Aufgabe