Reihe/C/n^nz^n/Bestimme Konvergenzpunkte/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um eine Potenzreihe mit den Koeffizienten ${}n^{n}$. Sie konvergiert für ${}z=0$, da dann nur ein Glied von null verschieden ist. Wir behaupten, dass die Reihe für keine weitere komplexe Zahl konvergiert. Da es sich um eine Potenzreihe handelt, genügt es, für jede reelle positive Zahl ${}z$ nachzuweisen, dass die Reihe divergiert. Zu ${}z>0$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}kz\geq 1$. Es gilt dann auch ${}nz\geq 1$ für alle ${}n\geq k$. Wegen

${}\sum _{n=k}^{\infty }n^{n}z^{n}\geq \sum _{n=k}^{\infty }1\,$

erfüllt die Reihe nicht das Cauchy-Kriterium und kann daher nicht konvergieren.

Zur gelösten Aufgabe