Reihe/n^2 durch e^n/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden das Quotientenkriterium. Der Quotient von aufeinander folgenden Reihengliedern ist

{}{\begin{aligned}{\frac {\frac {(n+1)^{2}}{e^{n+1}}}{\frac {n^{2}}{e^{n}}}}&={\frac {(n+1)^{2}e^{n}}{n^{2}e^{n+1}}}\\&={\frac {(n+1)^{2}}{n^{2}e}}\\&={\frac {n^{2}+2n+1}{n^{2}e}}\\&={\frac {\frac {n^{2}+2n+1}{n^{2}}}{e}}\\&={\frac {1+{\frac {2}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}}{e}}.\end{aligned}}

Der Zähler konvergiert gegen ${}1$ , deshalb konvergiert der Gesamtausdruck gegen ${}{\frac {1}{e}}<1$ .

Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe.