Reihen/C/Produkt/Quadratrand/Aufgabe/Lösung

1. Das Produkt ${}a_{i}b_{j}$ geht einzig in den Summanden ${}d_{k}$ mit ${}k=\operatorname {max} \left(i,\,j\right)$ ein, bei ${}i=j$ sichert die zweite Summationsgrenze, dass dieses Produkt nicht doppelt gezählt wird.
2. Für die Partialsummen

   $x_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\,y_{n}=\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\text{ und }}z_{n}=\sum _{k=0}^{n}d_{k}$

   gilt direkt

   ${}{\begin{aligned}x_{n}y_{n}&={\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)}\\&=\sum _{0\leq i,j\leq n}a_{i}b_{j}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\left(\sum _{0\leq i,j\leq n,\operatorname {max} \left(i,\,j\right)=k}a_{i}b_{j}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\left(\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}d_{k}\\&=z_{n}.\end{aligned}}$

   Das heißt, dass ${}z_{n}$ das Produkt der jeweiligen Partialsummenfolgen ist und daher nach Fakt  (2) gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert.

Zur gelösten Aufgabe