Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x_{k}\,.$

Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes ${}n$ gilt wegen ${}x_{2n+2}\leq x_{2n+1}$ die Beziehung

${}s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\leq s_{2n}\,,$

d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen

${}s_{0}\geq s_{2n}\geq s_{2n-1}\geq s_{1}\,.$

Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Fakt konvergent. Wegen ${}s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ stimmen die Grenzwerte überein.

Zur bewiesenen Aussage