Reihenkonvergenz/Absolut/R/Glied ist z^n durch n^n/Aufgabe/Lösung

Wir wenden das Quotientenkriterium an, woraus dann die absolute Konvergenz folgt. Dazu betrachten wir den Quotienten aus zwei aufeinander folgenden Gliedern ${}a_{n}={\frac {z^{n}}{n^{n}}}$ der Reihe (bei ${}z=0$ ist die Aussage klar, sei also ${}z\neq 0$), also

${}{\begin{aligned}\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\vert &=\vert {\frac {\frac {z^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}{\frac {z^{n}}{n^{n}}}}\vert \\&=\vert {z}\vert {\frac {n^{n}}{(n+1)^{n+1}}}\\&=\vert {z}\vert ({\frac {n}{n+1}})^{n}{\frac {1}{n+1}}\\&\leq \vert {z}\vert {\frac {1}{n+1}}.\end{aligned}}$

Zu einem gegebene ${}z\in \mathbb {R}$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ mit

${}q:={\frac {\vert {z}\vert }{n_{0}+1}}<1\,.$

Dies gilt dann auch für alle ${}n\geq n_{0}$, so dass man ab ${}n_{0}$ das Quotientenkriterium anwenden kann.

Zur gelösten Aufgabe