Reine Gleichung/Zerfällungskörper/Gradabschätzung/Aufgabe/Lösung


Wenn das Polynom schon über eine Nullstelle besitzt, so ist die Aussage klar, da es dann um den Zerfällungskörper eines Polynoms vom maximalen Grad handelt, dessen Grad maximal gleich

ist. Es sei eine Körpererweiterung vom Grad , unter der das Polynom eine Nullstelle bekommt. Zu gehört auch , und da gerade ist, ist dies ebenfalls eine Nullstelle. Somit gilt über

und man braucht maximal den Grad , um zu zerfällen. Insgesamt ist der benötigte Grad also gleich . Dabei ist

da dies zu

äquivalent ist, was wegen

erfüllt ist.