Rekursiver Aufbau/Sprünge in Z^2/1/Aufgabe

Wir betrachten die rekursiv definierte Teilmenge ${}M$ von ${}\mathbb {Z} ^{2}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, die durch die Startmenge ${}S=\{(0,0)\}$ und die folgenden Rekursionsvorschriften gegeben ist.

1. Wenn ${}P\in M$ ist, so ist auch ${}P+\left(3,\,0\right)\in M$.
2. Wenn ${}P\in M$ ist, so ist auch ${}P+\left(-1,\,-2\right)\in M$.
3. Wenn ${}P\in M$ ist, so ist auch ${}P+\left(2,\,7\right)\in M$.

Zeige die folgenden Aussagen.

1. Der Punkt ${}\left(-3,\,0\right)$ gehört zu ${}M$.
2. Der Punkt ${}\left(0,\,3\right)$ gehört zu ${}M$.
3. Der Punkt ${}\left(0,\,-3\right)$ gehört zu ${}M$.
4. Ein Punkt ${}Q\in M$ besitzt im Allgemeinen keine eindeutige Generierung.
5. Jeder Punkt ${}Q=(a,b)\in M$ besitzt die Eigenschaft, dass ${}a+b$ ein Vielfaches von ${}3$ ist.
6. Wenn ${}Q=(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}$ die Eigenschaft besitzt, dass ${}a+b$ ein Vielfaches von ${}3$ ist, so ist ${}Q\in M$.

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