Relationen/Äquivalenzrelation liefert Partition/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}P\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\,$. Dann heißt ${}P$ eine Partition von ${}M$, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Für alle ${}A\in P$ gilt ${}A\neq \emptyset$.
2. Für ${}A,B\in P$, ${}A\neq B$, gilt ${}A\cap B=\emptyset$.
3. Die Elemente von ${}P$ bilden eine Überdeckung von ${}M$, d.h. jedes Element von ${}M$ liegt in mindestens einem Element von ${}P$.

Beweise, dass die Quotientenmenge ${}M/\sim \,=\{[x]:x\in M\}$ zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ eine Partition der Menge ${}M$ ist.

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