Wir zeigen zuerst die schwache Repräsentierbarkeit, dass also für alle die Zugehörigkeit genau dann vorliegt, wenn die Ableitbarkeit gilt.
Wenn eine gerade natürliche Zahl ist, so ist
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wobei wir die Einsen in zwei gleichgroße Hälften aufgeteilt haben. Da in die Assoziativität und Kommutativität ableitbar ist
(was auch der Grund dafür ist, dass wir in der Darstellung von als Summe von keine Klammerung festlegen müssen),
ist auch
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wobei und Abkürzungen für Einsersummen sind. Aufgrund der
Existenzeinführung im Sukzedens
ist
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und mit Modus ponens auch
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also
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Wenn ungerade ist, so ist definitiv nicht
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da wegen dies auch in gelten würde, was aber nicht der Fall ist.
Es liegt aber keine starke Repräsentierbarkeit vor. In diesem Fall würde nämlich für ungerade die Ableitbarkeit
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gelten. Dies würde dann in jedem Modell, das
erfüllt, gelten. Da die Gültigkeit von
nur bedeutet, dass ein kommutatives Monoid vorliegt, ist beispielsweise auch
ein Modell für
. Innerhalb der rationalen Zahlen besitzt aber jede Zahl eine Hälfte.