Restklassenbeschreibung/Z/Faserring/Bemerkung

Wenn ein Ringhomomorphismus in der Form

$R\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{s})$

vorliegt, so wird der Faserring über einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ durch

${\left(R/{\mathfrak {q}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/({\overline {F}}_{1},\ldots ,{\overline {F}}_{s})\right)}_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}$

beschrieben, wobei ${}{\overline {F}}_{j}$ die Reduktion von ${}F_{j}$ modulo ${}{\mathfrak {q}}$ bezeichnet. Dies bedeutet einfach, dass man die Koeffizienten der Polynome modulo ${}{\mathfrak {q}}$ interpretiert.

Bei ${}R=\mathbb {Z}$ und ${}S=\mathbb {Z} [X]/(F)$ und einem maximalen Ideal ${}(p)$ zu einer Primzahl ${}p$ ist der Faserring einfach ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/({\overline {F}})$. Dies ist also eine Algebra über dem endlichen Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$. Wenn ${}F$ ein normiertes Polynom vom Grad ${}d$ ist, so ist diese Algebra endlich mit ${}p^{d}$ Elementen, die man allein schon wegen der Endlichkeit explizit beschreiben kann. Wenn ${}F$ über ${}\mathbb {Z}$ irreduzibel ist, so muss aber ${}{\overline {F}}$ nicht unbedingt irreduzibel sein. In der Tat ist es so, dass ${}p$ genau dann ein Primelement in ${}S$ bleibt, wenn ${}{\overline {F}}$ irreduzibel in ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]$ ist. Genau in diesem Fall ist der Faserring ein Körper.