Restklassenkörper (Z)/Alle primitive Elemente/13/Aufgabe/Lösung

Die multiplikative Ordnung ist ein Teiler von ${}12$. Wir bestimmen zuerst die Ordnung von ${}2$. Es ist

$2^{2}=4\neq 1,\,2^{3}=8\neq 1,\,2^{4}=16=3\neq 1,\,2^{6}=64=-1.$

Daher muss die Ordnung ${}12$ sein und ${}2$ ist eine primitive Einheit. Daher gibt es einen

Gruppenisomorphismus

$(\mathbb {Z} /(12),+,0)\longrightarrow \mathbb {Z} /(13)^{\times },\,n\longmapsto 2^{n},$

der Erzeuger auf Erzeuger abbildet. Die Erzeuger links sind ${}1,5,7,11$ (die zu ${}12$ teilerfremden Zahlen), und diese werden auf die primitiven Einheiten

$2^{1}=2,\,2^{5}=32=6,\,2^{7}=6\cdot 4=11,\,2^{11}=2^{-1}2^{12}=2^{-1}=7$

abgebildet.

Zur gelösten Aufgabe