Restklassenring/QX modulo X^3+2X^2-5/Reduktion und Beispielmultiplikation/Beispiel

Wir betrachten den Restklassenring

${}L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+2X^{2}-5)\,$

und bezeichnen die Restklasse von ${}X$ mit ${}x$. Aufgrund von Fakt besitzt jedes Element ${}f$ aus ${}L$ eine eindeutige Darstellung ${}f=ax^{2}+bx+c$ mit ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$, sodass also ein dreidimensionaler ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum vorliegt. Da ${}X^{3}+2X^{2}-5$ in ${}L$ zu ${}0$ gemacht wird, gilt

${}x^{3}=-2x^{2}+5\,.$

Daraus ergeben sich die Gleichungen

${}x^{4}=-2x^{3}+5x=-2(-2x^{2}+5)+5x=4x^{2}+5x-10\,,$

${}x^{5}=-2x^{4}+5x^{2}=-2(4x^{2}+5x-10)+5x^{2}=-3x^{2}-10x+20\,,$

etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren.

Berechnen wir nun das Produkt

$(3x^{2}-2x+4)(2x^{2}+x-1).$

Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist

${}{\begin{aligned}(3x^{2}-2x+4)(2x^{2}+x-1)&=6x^{4}+3x^{3}-3x^{2}-4x^{3}-2x^{2}+2x+8x^{2}+4x-4\\&=6x^{4}-x^{3}+3x^{2}+6x-4\\&=6(4x^{2}+5x-10)+2x^{2}-5+3x^{2}+6x-4\\&=29x^{2}+36x-69.\end{aligned}}$