Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist ${}(P)={\left({\frac {P}{a_{n}}}\right)}$, da es bei einem Hauptideal nicht auf eine Einheit ankommt.
2. Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung ${}P=0$.
3. Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (2) mit Potenzen von ${}x$.
4. Dass die Potenzen ${}x^{i}$, ${}i=0,\ldots ,n-1$, ein Erzeugendensystem bildet, folgt aus Teil (2) und (3). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei  angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir ${}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}=0$. D.h., dass das Polynom ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}X^{i}$ unter der Restklassenabbildung auf ${}0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von ${}P$ sein, was aber aus Gradgründen erzwingt, dass ${}Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle ${}c_{i}=0$.
5. Dies folgt direkt aus (4).
6. Dies ist klar.

Zur bewiesenen Aussage