Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Anzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Existenz von primitiven Elementen gibt es eine Isomorphie

${}\mathbb {Z} /(p-1)={\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\,.$

Daher geht es um die Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe ${}\mathbb {Z} /(p-1)$. Ein Element aus ${}\mathbb {Z} /(p-1)$ ist ein Gruppenerzeuger genau dann, wenn es in ${}\mathbb {Z} /(p-1)$ (als Ring betrachtet) eine Einheit ist. Deshalb ist die Anzahl gerade ${}\varphi (p-1)$.

Zur bewiesenen Aussage