Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.

Es gibt also Elemente ${}g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen ${}g^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein endlicher Körper ist.

$\Box$