Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Produktdarstellung/Fakt

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$. Dann induziert der Ringisomorphismus des Chinesischen Restsatzes ${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})$ einen Gruppenisomorphismus der Einheitengruppen

${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,.$

Insbesondere ist die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(n)$ höchstens dann zyklisch, wenn die Einheitengruppen von ${}\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ für alle ${}i=1,\ldots ,k$ zyklisch sind.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen