Restklassenringe (Z)/Gleichwertige Funktion von kleinerem Grad/Aufgabe/Lösung

Wir führen im Polynomring ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]$ die Division mit Rest von ${}f$ durch ${}X^{p}-X$ durch und erhalten

${}f=(X^{p}-X)q+g\,.$

Dabei ist ${}g=0$ oder aber der Grad von ${}g$ ist ${}d<p$ (das Nullpolynom habe jeden Grad). Setzt man links und rechts ein Element ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein, so ist stets ${}a^{p}=a$ nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen ${}f$ und ${}g$

an diesen Stellen überein.

Zur gelösten Aufgabe