Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Kongruenzbedingung für 7 Quadratrest/Aufgabe/Lösung

ist selbst ein Quadratrest modulo , so dass wir im Folgenden annehmen, dass teilerfremd zu ist.

Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall . Dann ist

Die Nichtquadrate modulo sind . Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass und gleichzeitig ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung

Für den Fall ist

Die Quadrate modulo , die zugleich Einheiten sind ( ist ausgeschlossen), sind . Wir müssen also eine Bedingung finden, dass und zugleich ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung

Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten

Da diese Zahlen (bis auf )

teilerfremd zu sind, folgt aus dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt.