Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Vorbereitungen zu Gauß Vorzeichenlemma/Textabschnitt

Die Elemente im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ werden meist durch die Zahlen von ${}0$ bis ${}p-1$ repräsentiert. Für das folgende Vorzeichenlemma von Gauß ist es sinnvoll, ein anderes Repräsentantensystem (für die von ${}0$ verschiedenen Elemente) zu fixieren. Wir setzen ${}t={\frac {p-1}{2}}$ und

$S=S_{-}\cup S_{+}{\text{ mit }}S_{-}=\{-t,-t+1,\ldots ,-2,-1\}{\text{ und }}S_{+}=\{1,2,\ldots ,t-1,t\}.$

Wir unterteilen also die Einheitengruppe in eine positive und eine negative Hälfte. Dieses Repräsentantensystem ist dadurch ausgezeichnet, dass jedes Element durch das betragmäßig kleinste Element repräsentiert wird. Im folgenden Lemma betrachtet man zu einer zu ${}p$ teilerfremden Zahl ${}k$ die Menge der Vielfachen ${}ik$, ${}i=1,\ldots ,t$, in ${}\mathbb {Z} /(p)$ und schaut, ob sie in der negativen oder der positiven Hälfte liegen. Man definiert die sogenannten Gaußschen Vorzeichen

${}\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(k)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}ik\in S_{+}\,,\\-1,{\text{ falls }}ik\in S_{-}\,.\end{cases}}\,$