Richtungsableitung/R/Basis/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und sei ${}v\in V$ ein Vektor. Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung. Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von ${}W$ und seien ${}\varphi _{j}$ die Koordinatenfunktionen zu ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ genau dann differenzierbar, wenn sämtliche

$\varphi _{j}\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

in ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar sind. In diesem Fall ist

${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left({\left(D_{v}\varphi _{1}\right)}{\left(P\right)},\ldots ,{\left(D_{v}\varphi _{n}\right)}{\left(P\right)}\right)}=w_{1}{\left(D_{v}\varphi _{1}\right)}{\left(P\right)}+\cdots +w_{n}{\left(D_{v}\varphi _{n}\right)}{\left(P\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen