Richtungsableitung/R/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$-Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}v\in V$ ein Vektor und seien

$f,g\colon G\longrightarrow W$

Abbildungen, die im Punkt ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Summe ${}f+g$ ist ebenfalls differenzierbar in Richtung ${}v$ mit

   ${}{\left(D_{v}(f+g)\right)}{\left(P\right)}={\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}+{\left(D_{v}g\right)}{\left(P\right)}\,.$

2. Das Produkt ${}af$ mit ${}a\in {\mathbb {R} }$ ist ebenfalls differenzierbar in Richtung ${}v$ mit

   ${}{\left(D_{v}(af)\right)}{\left(P\right)}=a{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,.$

3. Die Funktion ${}f$ ist auch in Richtung ${}cv$ mit ${}c\in {\mathbb {R} }$ differenzierbar und es gilt

   ${}{\left(D_{cv}f\right)}{\left(P\right)}=c{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen