Richtungsableitung/R/Lineare Abbildung/Beispiel

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$-Vektorräume und sei

$L\colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann existiert die Richtungsableitung in jedem Punkt ${}P\in V$ und in jede Richtung ${}v\in V$, und zwar ist

${}{\left(D_{v}L\right)}{\left(P\right)}=L(v)\,,$

insbesondere ist also die Richtungsableitung unabhängig vom Punkt. Dies folgt direkt durch Betrachten des Differenzenquotienten; es ist nämlich

${}{\frac {L(P+sv)-L(P)}{s}}={\frac {L(P)+sL(v)-L(P)}{s}}={\frac {sL(v)}{s}}=L(v)\,.$

Daher ist auch der Limes für ${}s\rightarrow 0$ gleich ${}L(v)$.