Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Lineare Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Divisoren seien zuerst linear äquivalent. Es sei also

mit einer meromorphen Funktion . Wir behaupten, dass durch die Multiplikation mit , also

ein Isomorphismus von invertierbaren Garben gegeben ist. Die Abbildung ist auf jeder offenen Menge durch

gegeben. Sie ist wohldefiniert, mit Restriktionen verträglich, erhält die Modulstruktur und ist ein Isomorphismus, wobei die Umkehrabbildung durch die Multiplikation mit gegeben ist.

Wenn die beiden Garben  und isomorph sind, so kann man durch Tensorierung mit unter Verwendung von Fakt  (4,5) auf die Situation reduzieren, wo isomorph zur Strukturgarbe ist. Es ist dann zu zeigen, dass ein Hauptdivisor ist. Der Isomorphismus ist durch eine Abbildung

gegeben. Wir behaupten . Wegen ist

Wenn in einem Punkt die Ordnung links echt größer als die Ordnung rechts wäre, so wäre die Abbildung in diesem Halm kein Isomorphismus.