Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Welke Garbe/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten ${}{\mathbb {C} }={\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ . Die auf ${}{\mathbb {C} }$ meromorphe Funktion ${}f(z)={\frac {1}{\sin z}}$ besitzt unendlich viele Polstellen, da der Sinus unendlich viele Nullstellen besitzt. Die zugehörige Hauptteilverteilung zu ${}f$ besitzt in ${}{\mathbb {C} }$ daher unendlich viele Trägerpunkte (die Menge der Trägerpunkte sind in ${}{\mathbb {C} }$ diskret, besitzen aber auf der projektiven Geraden den unendlich fernen Punkt als Häufungspunkt). Da die projektive Gerade kompakt ist, ist auf ihr jede diskrete Teilmenge endlich, deshalb gibt es keine Hauptteilverteilung auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ , die auf die Hauptteilverteilung zu ${}f$ einschränkt.
Jede Hauptteilverteilung in einem Punkt ${}P\in X$ wird durch eine meromorphe Funktion ${}f$ repräsentiert, die auf einer offenen Umgebung ${}P\in V$ definiert ist. Durch Verkleinern von ${}V$ können wir annehmen, dass ${}V\subseteq U$ und dass ${}f$ auf ${}V\setminus \{P\}$ holomorph ist. Dann wird durch die offene Überdeckung ${}V$ und ${}U\setminus \{P\}$ und die meromorphen FUnktionen ${}f$ auf ${}V$ und ${}0$ auf ${}U\setminus \{P\}$ ein Element in
${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {T}}\right)}=\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

definiert, das auf den Halm zu ${}f$ einschränkt.