Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Charakterisierungen/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannschen Fläche und ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ ist holomorph.
2. Für jede mit der komplexen Struktur kompatible Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }$

   ist ${}f\circ \alpha ^{-1}$ holomorph.

3. ${}f$ ist in jedem Punkt durch eine komplexe Potenzreihe beschreibbar.

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