Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Ringstruktur/Garbeneigenschaft/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu offenen Mengen ${}V\subseteq U$ von ${}X$ und einer holomorphen Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   ist die Einschränkung ${}f{|}_{V}$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$.

2. Zu offenen Mengen ${}V\subseteq U$ ist die Einschränkungsabbildung

   $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{V},$

   ein ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus.

3. Zu offenen Mengen ${}V\subseteq U$ mit ${}U$ zusammenhängend und ${}V\neq \emptyset$ ist die Einschränkungsabbildung

   $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{V}$

   injektiv.

4. Es sei ${}U$ eine offene Menge und ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und seien holomorphe Funktionen ${}f,g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ mit

   ${}f{|}_{U_{i}}=g{|}_{U_{i}}\,$

   für alle ${}i$ gegeben. Dann ist ${}f=g$.

5. Es sei ${}U$ eine offene Menge und ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und seien holomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ mit

   ${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

   für alle ${}i,j$ gegeben. Dann gibt es eine holomorphe Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ mit

   ${}f{|}_{U_{i}}=f_{i}\,$

   alle ${}i$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen