Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Definition

Analytische Fortsetzung

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg mit ${}\gamma (0)=x$ und ${}\gamma (1)=y$. Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeim ${}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ aus einem holomorphen Funktionskeim ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ hervorgeht, wenn es Punkte ${}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$, zusammenhängende offene Mengen ${}U_{i}\subseteq X$ mit ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart gibt, dass ${}f_{1}=f$, ${}f_{n}=g$ und ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ übereinstimmen.