Riemannsche Fläche/Kompakt/Erste Kohomologie/Keine einfache Basis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten eine hyperelliptische riemannsche Fläche ${}X$ vom Geschlecht ${}\geq 2$. Nach Definition gibt es eine holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ vom Grad ${}2$. Nach Fakt ist diese Abbildung nicht unverzweigt. Durch einen Automorphismus der projektiven Geraden können wir annehmen, dass über ${}\infty$ Verzweigung stattfindet. Es sei ${}P$ der einzige Urbildpunkt von ${}\infty$. Die meromorphe Funktion, die dieser holomorphen Abbildung auf die projektive Gerade entspricht (siehe Fakt), sei ${}f$. Es ist ${}f$ außerhalb von ${}P$ holomorph und sein Hauptdivisor ist nach Fakt von der Form ${}Q_{1}+Q_{2}-2P$ mit ${}Q_{1},Q_{2}\neq P$ (die untereinander gleich sein können). Die Hauptteilverteilung zu ${}f$ besitzt dann außerhalb von ${}P$ den Wert ${}0$ und in ${}P$ die Form ${}c_{-2}{\frac {1}{z^{2}}}+c_{-1}{\frac {1}{z}}$ mit ${}c_{-2}\neq 0$. Als Hauptteilverteilung einer meromorphen Funktion ist ${}[c_{-2}{\frac {1}{z^{2}}}+c_{-1}{\frac {1}{z}}]=c_{-2}[{\frac {1}{z^{2}}}]+c_{-1}[{\frac {1}{z}}]=[0]$

in ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Also sind darin ${}[z^{-1}]$ und ${}[z^{-2}]$ linear abhängig.

Zur gelösten Aufgabe