Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Gradbeziehung/Fakt

Es sei ${}X$ eine kompakte riemannsche Fläche und seien ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}$ invertierbare Garben mit der zugehörigen kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Dann ist

${}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {M}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})+\dim _{\mathbb {C} }{\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\right)}\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen