Riemannsche Fläche/Kompakt und zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Konstant/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist das Bild von ${}X$ unter der stetigen Abbildung ${}\vert {f}\vert$ wieder kompakt. Nach dem Satz von Heine-Borel ist somit das Bild von ${}\vert {f}\vert$ abgeschlossen und beschränkt. Das bedeutet insbesondere, dass das Maximum von ${}\vert {f}\vert$ unter der Funktion angenommen wird. Es gibt also ein ${}P\in X$ mit ${}\vert {f(P)}\vert \geq \vert {f(Q)}\vert$ für alle Punkte ${}Q\in X$. Es sei ${}P\in U\subseteq X$ ein zusammenhängendes Kartengebiet. Aus dem Maximumsprinzip, angewendet auf ${}f\circ \alpha ^{-1}$ folgt, dass ${}f{|}_{U}$ konstant ist. Also ist ${}f$ nach Fakt überhaupt konstant.

Zur bewiesenen Aussage