Riemannsche Fläche/Kompakt und zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Konstant/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist das Bild von unter der stetigen Abbildung wieder kompakt. Nach dem Satz von Heine-Borel ist somit das Bild von abgeschlossen und beschränkt. Das bedeutet insbesondere, dass das Maximum von unter der Funktion angenommen wird. Es gibt also ein mit für alle Punkte . Es sei ein zusammenhängendes Kartengebiet. Aus dem Maximumsprinzip, angewendet auf folgt, dass konstant ist. Also ist nach Fakt überhaupt konstant.